Teoria sygnałów

Twierdzenie o próbkowaniu

Sygnał ciągły o maksymalnej częstotliwości fm może być jednoznacznie odtworzony z próbek, jeśli częstość próbkowania fs spełnia warunek: fs≥2fm.

Maksymalna częstotliwość (f_m)

Najwyższa składowa harmoniczna (sinusoida) istniejąca w widmie sygnału. Wyznacza ona pasmo sygnału. Powyżej $f_m$ energia sygnału musi wynosić 0, aby uniknąć aliasingu i móc wiernie odtworzyć sygnał z próbek

Częstość Nyquista

to połowa tempa próbkowania, czyli fN=fs/2. Jest to graniczna częstotliwość sygnału, którą można poprawnie odtworzyć po dyskretyzacji.

Konsekwencje praktyczne tw o próbkowaniu

Próbkowanie z szybkością poniżej tej wartości prowadzi do aliasingu. ○ W technice często stosuje się nieco wyższe wartości fs niż 2fm (oversampling), aby zapewnić margines bezpieczeństwa i umożliwić efektywną filtrację sygnału wejściowego.

Aliasing

Zjawisko nakładania się widm sygnałów podczas próbkowania zbyt niską częstotliwością – wysokie częstotliwości "udają" niższe i są nie do odróżnienia po próbkowaniu

Filtr antyaliasingowy

Dolnoprzepustowy filtr analogowy stosowany przed próbkowaniem, który usuwa składowe powyżej fs/2, aby zapobiec aliasingowi. Najczęściej używane są filtry Butterwortha lub Chebysheva, a ich dokładność zależy od rzędu filtra i częstotliwości odcięcia

Kwantyzacja (Istota)

Zamiana ciągłych wartości amplitudy na skończoną liczbę dyskretnych poziomów. Umożliwia zapis sygnału w formie binarnej (liczbowej). Odpowiada za rozdzielczość "pionową" sygnału cyfrowego.

Kwantyzacja równomierna

Stały odstęp (krok kwantyzacji) między poziomami. Najprostsza w realizacji technicznej (standardowe ADC). Każda wartość z przedziału dostaje tę samą wagę błędu.

Kwantyzacja nierównomierna

Zmienna szerokość kroków. Więcej poziomów dla małych amplitud, mniej dla dużych. Stosowana w audio/telefonii, by poprawić stosunek sygnału do szumu (SNR) dla cichych fragmentów.

Szum kwantyzacji

Nieunikniony błąd (różnica) między rzeczywistym napięciem a najbliższym dostępnym poziomem cyfrowym. Maleje wraz ze wzrostem liczby bitów przetwornika (np. z 8 na 16 bitów).

Próbkowanie krytyczne

Sytuacja, w której $f_s = 2f_m$. Jest to teoretyczna granica między poprawnym próbkowaniem a aliasingiem. W praktyce: Niestosowane, ponieważ grozi utratą sygnału (zależność od fazy) i wymaga fizycznie niemożliwych do zbudowania filtrów o pionowym zboczu.

STFT

Metoda analizy sygnałów niestacjonarnych. Polega na dzieleniu sygnału na krótkie segmenty za pomocą przesuwnego "okna" i obliczaniu transformaty Fouriera dla każdego z nich. Pozwala określić zmienność widma w czasie.

Szereg Fouriera (Definicja)

Sposób przedstawienia sygnału okresowego jako sumy składowej stałej oraz nieskończonego szeregu sinusoid i kosinusoid (harmonicznych) o częstotliwościach będących wielokrotnością częstotliwości podstawowej $f_0$.

Widmo sygnału okresowego

Widmo sygnału okresowego jest dyskretne (prążkowe). Oznacza to, że sygnał składa się wyłącznie z konkretnych, oddzielonych od siebie częstotliwości, a nie z ciągłego zakresu pasma.

Współczynnik $a_0$ (Składowa stała)

Średnia wartość sygnału w czasie jednego okresu. Graficznie: poziom, wokół którego oscyluje wykres. Jeśli pole nad osią równa się polu pod osią, $a_0$ wynosi zero.

Co liczą całki $a_n$ i $b_n$?

Całki te mierzą stopień dopasowania (korelację) sygnału do funkcji cos i sin o częstotliwości $n\omega_0$. Wynik mówi nam, jaki jest udział danej harmonicznej w budowie całego kształtu fali.

Filtr Czebyszewa

Priorytet: Maksymalnie strome zbocze (szybkie wycięcie pasma zaporowego). Cechy: Dopuszcza zafalowania (tętnienia) amplitudy w paśmie przepustowym. Najlepszy, gdy potrzebujemy ostrego odcięcia kosztem stałości wzmocnienia.

Fiszka: Filtr Butterwortha

Priorytet: Maksymalnie płaska charakterystyka amplitudy w paśmie przepustowym (brak tętnień). Cechy: Optymalny kompromis – wiernie przenosi amplitudę sygnału aż do częstotliwości granicznej, ale ma łagodniejsze zbocze niż Czebyszew.

Filtr Bessela

Priorytet: Liniowa faza i stałe opóźnienie grupowe (brak zniekształceń kształtu sygnału). Cechy: Najwierniej odwzorowuje przebiegi czasowe (np. impulsy prostokątne). Ma najbardziej łagodne zbocze ze wszystkich filtrów, słabo tłumi pasmo zaporowe.

Bieguny a Stabilność (Fundament)

O stabilności decydują wyłącznie bieguny (pierwiastki mianownika $H(s)$). Warunek: Układ jest stabilny, gdy wszystkie bieguny mają ujemną część rzeczywistą ($Re < 0$). Na płaszczyźnie zespolonej $s$ muszą leżeć po lewej stronie osi pionowej.

Zera w układzie

Częstotliwości (zespolone), dla których transmitancja jest równa 0 (sygnał jest blokowany).

Wykres czasowy – Układ Stabilny

Po podaniu sygnału (np. skoku), wyjście z czasem uspokaja się. Wizualizacja: Sygnał dąży do stałej wartości. Jeśli ma parę biegunów zespolonych – widzimy oscylacje o malejącej amp (tłumione). Sygnał wejściowy zostaje przetworzony i układ osiąga równowagę.

Wykres czasowy – Układ Niestabilny

Nawet przy małym pobudzeniu wyjście ucieka do nieskończoności. Wizualizacja: Linia rośnie wykładniczo w górę lub oscyluje z coraz większą amplitudą. W rzeczywistości prowadzi to do nasycenia wzmacniaczy, pożaru lub mechanicznego zniszczenia urządzenia.

Układ na granicy stabilności

Układ staje się generatorem. Wizualizacja: Bieguny leżą dokładnie na osi $j\omega$ ($Re=0$). Na wyjściu obserwujemy niegasnące oscylacje o stałej amplitudzie (idealna sinusoida). Sygnał nigdy się nie uspokaja, ale też nie rośnie w nieskończoność.

Delta Diraca – Definicja

Idealny impuls matematyczny (dystrybucja). Przyjmuje wartość 0 wszędzie poza punktem $x=0$, ale jej pole powierzchni (całka) wynosi dokładnie 1. Modeluje zjawiska punktowe i chwilowe bez opisywania ich wewnętrznej struktury.

Właściwości praktyczne

Sifting property: Najważniejsza cecha – mnożenie funkcji $f(t)$ przez deltę pod całką „wyciąga” wartość tej funkcji w punkcie wystąpienia impulsu. Pozwala to na matematyczne sformalizowanie procesu próbkowania sygnałów.

Przyczyny wprowadzenia delty diraca

Cel: Uproszczenie obliczeń przy modelowaniu zjawisk, których czas trwania jest pomijalnie krótki (uderzenie, strzał prądu). Klasyczne funkcje nie potrafią opisać „punktowości” bez skomplikowanych detali rozkładu energii.

Zastosowanie w Elektronice

Analiza obwodów: Modeluje nagłe wymuszenia w układach RC/RLC (np. zwarcie). Pozwala wyznaczyć odpowiedź impulsową, która stanowi „odcisk palca” układu i w pełni charakteryzuje filtry oraz systemy liniowe.

Zastosowanie w Fizyce

Modele punktowe: Używana do opisu gęstości ładunku elektrycznego lub masy skupionej w jednym punkcie przestrzeni. Pozwala obliczać pola od pojedynczych ładunków/mas bez analizy ich objętości.

Co daje poszerzanie okna?

Skutek: Poprawa rozdzielczości częstotliwościowej (dokładniej rozróżniamy bliskie dźwięki). Koszt: Pogorszenie rozdzielczości czasowej (nie wiemy dokładnie, kiedy dźwięk się zaczął). Idealne do analizy sygnałów wolnozmiennych.

Co daje skracanie okna?

Skutek: Świetna rozdzielczość czasowa (precyzyjna lokalizacja nagłych zdarzeń/impulsów). Koszt: Słaba rozdzielczość częstotliwościowa (widmo jest „rozmyte”). Idealne do wykrywania szybkich zmian i transjentów w sygnale.

Wzór STFT

Matematyka: $STFT(\tau, f) = \int x(t) w(t - \tau) e^{-j 2 \pi f t} dt$. Sygnał $x(t)$ mnożymy przez przesunięte okno $w(t - \tau)$, a następnie wykonujemy transformatę Fouriera. Wynik zależy zarówno od czasu ($\tau$), jak i częstotliwości ($f$).

Jak działa STFT (Czas vs Częstotliwość)?

Mechanizm: Okno wycina fragment sygnału, a FT wyznacza jego widmo. Oś czasu pokazuje, kiedy fragment wystąpił, a oś częstotliwości (pionowa) pokazuje rozkład energii w tym fragmencie. Spektrogram łączy obie osie w jedną mapę.

Rozdzielczość na osiach

Zależność: Długość okna dyktuje precyzję obu osi. Dłuższe okno to gęstsza, dokładniejsza oś częstotliwości, ale "rozmyta" oś czasu. Krótsze okno to precyzyjna oś czasu, ale rzadka i mało dokładna oś częstotliwości.

Dla jakich sygnałów szereg fouriera się wykorzystuje

Warunek: Szereg Fouriera stosuje się tylko do sygnałów okresowych (powtarzających się w czasie). Sygnały nieokresowe (impulsowe, jednorazowe) wymagają użycia Transformaty Fouriera, a nie Szeregu

Warunki Dirichleta żeby można było użyć szeregu fouriera

Definicja: Aby sygnał okresowy można było rozwinąć w szereg, musi spełniać warunki Dirichleta: być całkowalny w okresie, mieć skończoną liczbę ekstremów i punktów nieciągłości. Większość sygnałów fizycznych te warunki spełnia.

Transformata Laplace’a – Definicja

Opis: Narzędzie przekształcające funkcję czasu $x(t)$ w funkcję zmiennej zespolonej $X(s)$. Ułatwia analizę układów liniowych poprzez zamianę trudnych równań różniczkowych na proste równania algebraiczne.

Kluczowe właściwości laplace'a

Cechy: Liniowość (suma sygnałów = suma transformat). Przesunięcie w czasie to mnożenie przez $e^{-st0}$. Najważniejsze: splot w czasie to zwykłe mnożenie transformat, a całkowanie to dzielenie przez $s$.

Transformata odwrotna

Opis: Pozwala wrócić z dziedziny zespolonej $s$ do dziedziny czasu $t$. W praktyce inżynierskiej rzadko wyliczana z trudnego wzoru całkowego – najczęściej korzysta się z gotowych tablic transformat.

Laplace vs Fourier

Związek: Transformata Laplace’a to uogólnienie Fouriera. Jeśli w wzorze Laplace’a przyjmiemy, że część rzeczywista $\sigma=0$ (czyli $s = j\omega$), otrzymamy klasyczną ciągłą transformatę Fouriera.

wzór laplace'a

L{f}(s) = całka od 0 do ∞ z f(t) * e^(-s*t) dt

Ciągła transformacja Fouriera

Opis: Przekształca sygnał z dziedziny czasu $t$ do dziedziny częstotliwości $f$. Pozwala wyznaczyć widmo sygnałów nieokresowych. Wzór: $X(f) = \int x(t) e^{-j2\pi ft} dt$. Wynikiem jest funkcja ciągła, zazwyczaj zespolona.

Ciągła odwrotna transformacja Fouriera

Opis: Pozwala na powrót z dziedziny częstotliwości do czasu: $x(t) = \int X(f) e^{j2\pi ft} df$. Pokazuje, że każdy sygnał można złożyć z nieskończonej liczby czystych sinusoid o różnych amplitudach i fazach.

Właściwości CTFT

Cechy: Liniowość, przesunięcie w czasie (zmiana fazy w widmie), skalowanie (zwężenie w czasie = poszerzenie widma). Kluczowa cecha: splot w czasie to mnożenie w częstotliwości.

Symetria sygnału rzeczywistego

Zasada: Dla sygnałów rzeczywistych widmo amplitudowe jest parzyste $|X(f)| = |X(-f)|$, a widmo fazowe nieparzyste. Oznacza to, że ujemne częstotliwości niosą tę samą informację co dodatnie (odbicie lustrzane).

Symetria hermitowska

Definicja: Transformata sygnału rzeczywistego spełnia warunek $X(-f) = X^*(f)$ (sprzężenie zespolone). Dzięki tej symetrii w urządzeniach pomiarowych wystarczy analizować tylko dodatnią część pasma częstotliwości.

Definicja splotu ciągłego

Splot $x(t)$ i $h(t)$ to funkcja $y(t)$ będąca całką iloczynu jednego sygnału i przesuniętego, odwróconego drugiego sygnału. Opisuje matematycznie proces filtracji.

Mechanizm filtracji

Filtracja to "usuwanie" niepożądanych składowych częstotliwościowych. Zdolność ta wynika z faktu, że splot w czasie to mnożenie widm w częstotliwości ($Y=X \cdot H$).

Kluczowe właściwości splotu

Przemienność: $x*h = h*x$. 2. Rozdzielność: $x*(h1+h2) = x*h1 + x*h2$. 3. Łączność: $(x*h1)*h2 = x*(h1*h2)$. 4. Element neutralny: splot sygnału z deltą Diraca $\delta(t)$ daje ten sam sygnał $x(t)$.

Twierdzenie o splocie (podstawowe)

Splot w dziedzinie czasu odpowiada mnożeniu w dziedzinie częstotliwości: $x(t) * h(t) \iff X(f) \cdot H(f)$. Dzięki temu skomplikowane całkowanie w czasie można zastąpić prostym mnożeniem widm.

Twierdzenie o splocie (odwrotne)

Mnożenie w dziedzinie czasu odpowiada splotowi w dziedzinie częstotliwości (z dokładnością do stałej): $x(t) \cdot h(t) \iff X(f) * H(f)$. Jest to kluczowe przy analizie okienkowania i modulacji sygnałów.