Logika I

Zdaniem w sensie logicznym

jest takie wyrażenie, które jest prawdziwe albo fałszywe (ma jakąś wartość logiczną).

Zmienną zdaniową

jest takie wyrażenie, za które wolno wstawić dowolne zdanie. Jako zmiennych zdaniowych używa się małych liter: p, q, r, s, t, p1,...

Spójnikiem logicznym

nazywamy wyrażenie posiadające tę właściwość, że po dołączeniu do niego zdania otrzymuje się nowe zdanie, którego wartość logiczna zależy wyłącznie od wartości logicznej zdania dołączonego.

Spójnikiem n-argumentowym

nazywamy takie wyrażenie, które z n-tką zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej – w szczególny sposób – przez wartość logiczną dołączonych zdań.

Spójnikiem jednoargumentowym

nazywamy takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego jednego zdania jako argumentu daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej – w sposób szczególny – przez wartość logiczną zdania dołączonego.

Zdaniem zanegowanym

nazywamy zdanie dołączone do spójnika negacji jako jego argument.

Para zdań wzajemnie sprzecznych

zdanie zanegowane, oraz powstała z niego negacja.

Negacją

nazywamy zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania.

Spójnikiem dwuargumentowym

nazywamy takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej – w szczególny sposób – przez wartości logiczne dołączonych zdań.

Czynniki

zdania dołączone jako argumenty do spójnika koniunkcji

Składniki

zdania dołączone do spójnika alternatywy jako argumenty

Poprzednik

pierwszy z argumentów spójnika implikacji.

Następnik

drugi z argumentów spójnika implikacji

Człony

zdania dołączone do spójnika równoważności jako argumenty

Zdanie proste

zdanie, w którym nie występuje żaden spójnik

Zdanie złożone

zdanie, w którym występuje co najmniej jeden spójnik

Tezami rachunku zdań

nazywamy wyrażenia rachunku zdań, które przy wszelkich wstawieniach za występujące w nich zmienne przekształcają się w zdania prawdziwe. = schematy tautologiczne rachunku zdań = rachunkowo zdaniowe prawa logiki.

Wyrażenia rachunku zdań

określenie to wyznacza zbiór wszystkich wyrażeń rachunku zdań. Inaczej mówiąc, określenie to wskazuje, jak należy budować wyrażenie, aby było ono wyrażeniem rachunku zdań.

Formalizacja rachunku zdań

zabieg pozwalający z ogółu wyrażeń rachunku zdań wyróżnić jego tezy. Operacja ta polega na wyborze pewnych tez rachunku zdań jako aksjomatów i podaniu reguł wyprowadzania z jednych tez innych tez.

Aksjomatyzacja rachunku zdań

jest to pierwszy etap formalizacji rachunku zdań. Przeprowadza się go, dobierając określony zestaw tez jako aksjomatów. Aksjomaty: A1) (p→q) → [(q→r) → (p→r)] A2) (~p→p) → p A3) p → (~p→q)

Reguła podstawienia

jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to tezą r.zd. jest też wyrażenie postaci B powstałe z A przez konsekwentne podstawienie za występującą w nim zmienną zdaniową dowolnego wyrażenia r.zd.

Reguła odrywania

jeżeli wyrażenie postaci A→B jest tezą rachunku zdań i wyrażenie A jest tezą rachunku zdań, to także wyrażenie B jest tezą rachunku zdań.

Dowodzenie

Zabieg konstruowania dowodu danego wyrażenia

Dowodem wyrażenia W, na gruncie aksjomatów tworzących zbiór A, w oparciu o reguły tworzące zbiór R

jest taki ciąg wyrażeń, że każde wyrażenie tego ciągu albo jest jednym z aksjomatów zbioru A, albo powstaje z wcześniejszych wyrażeń tego ciągu przez zastosowanie którejś z reguł zbioru R, a przy tym ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie W.

(D1)

C˄D = ~(C→~D)

(D2)

C˅D = ~C→D

(D3)

C≡D = ~ [(C→D) → ~(D→C)]

Reguła zastępowania

jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą r.zd., to tezą r.zd., jest także wyrażenie postaci B powstałe z A przez zastąpienie występującego w A wyrażenia r.zd. innym wyrażeniem r.zd. odpowiadającym mu na podstawie definicji: