matematyka

kiedy ciąg jest zbieżny

posiada granicę właściwą (liczba)

kiedy ciąg jest rozbieżny

posiada granicę niewłaściwą (+-nieskończoność)

kiedy jeszcze ciąg jest zbieżny

kiedy jest monotoniczny i ograniczony

granicą jakiego ciągu jest e

(1+1/n)^n

sąsiedztwo punktu x0

Sąsiedztwem S(x0;r) punktu x0 nazywamy przedział (x0−r, x0+r)∖{x0}.

granica funkcji

Wartość do jakiej dąży funkcja f(x), wraz z tym jak x dąży do x0, to granica funkcji f(x) w punkcie x0

warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy

granica prawostronna=granica lewostronna

funkcja ciągła w punkcie

granica lewostronna=granica prawostronna=wartość w punkcie

funkcja ciągła

dla każdego argumentu x ze swojej dziedziny jej wykres jest nieprzerwany.

funkcja ciągła w zbiorze

jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru

nieciągłość pierwszego rodzaju

obie granice istnieją i są skończone ale różne

nieciągłość drugiego rodzaju

nie istnieje lub jest niewłaściwa co najmniej jedna z granic

iloraz różnicowy funkcji

f(x) - f(x0) / x - x0

pochodna funkcji w punkcie

granica ilorazu różnicowego lim x->x0

funkcja różniczkowalna w punkcie

ma pochodną w tym punkcie

funkcja nieróżniczkowalna w punkcie

ma w punkcie ostrze

warunek konieczny różniczkowalności funkcji

jeżeli różniczkowalna to i ciągła

interpretacja geometryczna pochodnej

współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej w punkcie x0

warunek konieczny istnienia ekstremum

jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz ma ekstremum lokalne w tym punkcie to f ' (x0) = 0

warunek wystarczający istnienia ekstremum

niech funkcja będzie różniczkowalna i ciągła; funkcja f ma ekstremum maksimum w x0⇔ f′(x0)=0 oraz f′ zmienia znak z + na − w x0; funkcja f ma ekstremum minimum w x0⇔ f′(x0)=0 oraz f′ zmienia znak z − na + w x0